Fungsi Komposisi

 

 

 

Misalkan 

kita memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domainnya adalah bilangan real, dan g(x) = √(x – 1) dengan domain x ≥ 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g ○ f dapat digambarkan sebagai berikut.

Mula-mula x merupakan anggota domain f yang selanjutnya dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x). Dari f(x) dipetakan kembali oleh g ke g(f(x)). Dengan demikian fungsi komposisi g ○ f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, selanjutnya bayangannya dipetakan kembali oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi dari fungsi komposisi berikut.

Diketahui f dan g dua fungsi sembarang, maka fungsi komposisi f dan g ditulis g ○ f didefinisikan sebagai (g ○ f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota domain f.

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ○ f adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.

Perhatikan contoh berikut :

1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x² + 6x – 7, maka g(x) = …

 Penyelesaian :

(f o g)(x)     = 2x² + 6x – 7

    f(g(x))     =  2x² + 6x – 7

 2(g(x)) + 3 = 2x² + 6x – 7

2 (g(x))       =  2x² + 6x –10

jadi      g(x) = x² + 3x – 5

2. Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x² – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x² – 6x – 1

maka f(x) = ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)            = 2x² – 6x – 1

 f (g(x))             = 2x² – 6x – 1

 f ( x² – 3x + 1)  = 2x² – 6x – 1

                           = 2 ( x² – 3x + 1 ) – 3

Jadi       f (x)      = 2x – 3

3. Jika f(x) = x² + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….

Penyelesaian :

 g(8) = 8 – 12 = – 4

jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)² + 3(-4) = 16 – 12 = 4

4. Diketahui (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)     = x² + 3x + 4

f (g(x))        =  x² + 3x + 4

Untuk    g(x)    = 3              maka

           4x – 5   = 3

                   4x = 8

                    x = 2

Karena  f (g(x))  =  x² + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga :

f (3) =  2² + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14

INVERS FUNGSI KOMPOSISI

Misalnya diketahui  fungsi f : A  B dan g : B  C. Jika h adalah fungsi komposisi dari f atau g . dengan

  maka

invers  fungsi h adalah

 dengan  

jadi jika  maka