Fungsi Komposisi

 

 

 

Misalkan 

kita memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domainnya adalah bilangan real, dan g(x) = √(x – 1) dengan domain x ≥ 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g ○ f dapat digambarkan sebagai berikut.

Mula-mula x merupakan anggota domain f yang selanjutnya dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x). Dari f(x) dipetakan kembali oleh g ke g(f(x)). Dengan demikian fungsi komposisi g ○ f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, selanjutnya bayangannya dipetakan kembali oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi dari fungsi komposisi berikut.

Diketahui f dan g dua fungsi sembarang, maka fungsi komposisi f dan g ditulis g ○ f didefinisikan sebagai (g ○ f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota domain f.

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ○ f adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.

Perhatikan contoh berikut :

1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x² + 6x – 7, maka g(x) = …

 Penyelesaian :

(f o g)(x)     = 2x² + 6x – 7

    f(g(x))     =  2x² + 6x – 7

 2(g(x)) + 3 = 2x² + 6x – 7

2 (g(x))       =  2x² + 6x –10

jadi      g(x) = x² + 3x – 5

2. Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x² – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x² – 6x – 1

maka f(x) = ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)            = 2x² – 6x – 1

 f (g(x))             = 2x² – 6x – 1

 f ( x² – 3x + 1)  = 2x² – 6x – 1

                           = 2 ( x² – 3x + 1 ) – 3

Jadi       f (x)      = 2x – 3

3. Jika f(x) = x² + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….

Penyelesaian :

 g(8) = 8 – 12 = – 4

jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)² + 3(-4) = 16 – 12 = 4

4. Diketahui (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)     = x² + 3x + 4

f (g(x))        =  x² + 3x + 4

Untuk    g(x)    = 3              maka

           4x – 5   = 3

                   4x = 8

                    x = 2

Karena  f (g(x))  =  x² + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga :

f (3) =  2² + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14

INVERS FUNGSI KOMPOSISI

Misalnya diketahui  fungsi f : A  B dan g : B  C. Jika h adalah fungsi komposisi dari f atau g . dengan

  maka

invers  fungsi h adalah

 dengan  

jadi jika  maka 

Perbandingan

Perbandingan adalah hasil yang didapat dari membandingkan dua atau lebih objek. Dalam matematika, hasilnya dalam bentuk bilangan. Apabila dalam suatu perbandingan sudah dapat diketahui jumlahanya, maka untuk menyelesaikan soal perbandingan tersebut dapat kita lakukan dengan cara menjumlahkan perbandingan kemudian jumlah perbandingan kita jadikan penyebut untuk menentukan jumlah masing-masing. Apabila dalam suatu perbandingan sudah dapat diketahui selisihnya, maka untuk menyelesaikan soal perbandingan tersebut dapat kita lakukan dengan cara mengurangkan perbandingan kemudian selisih perbandingan kita jadikan penyebut untuk menentukan jumlah masing-masing.  

Berikut ini beberapa contoh soal perbandingan :

• Perbandingan tinggi badan Ari dan Santo 3 : 4. Jika tinggi badan Santo 160 cm, selisih tinggi badan Santo dan Ari....cm

Pembahasan :

• Suatu larutan akan dibuat dari campuran cairan A dan cairan B. Komposisi cairan A dan B 3 : 5. Jika akan dibuat larutan 40 ml, banyak cairan B yang diperlukan....ml

Pembahasan :

• Hasil perbandingan sudah dikatahui jumlanya yaitu 40 ml, berarti perbandingan dijumlahkan dan dijadikan penyebut 3 + 5 = 8, penyebut 8

Cairan A = 3/8 x 40 ml = 15 ml

Cairan B = 5/8 x 40 ml = 25 ml

• Perbandingan banyak sepeda motor dengan mobil di sebuah tempat parkir 10 : 3. Jika banyak mobil yang diparkir ada 24, jumlah mobil yang diparkir ada...

Pembahasan :

• Selisih uang Andi dan Tono Rp. 16.00,00. Perbandingan uang Andi dan Tono 5 : 3. Jumlah uang Andi dan Tono....

Pembahasan :

Karena perbandingan sudah diketahui selisihnya maka perpandingan dikurangkan dan dijadikan penyebut : 5-3 = 2, penyebut 2

Uang Andi = 5/2 x Rp. 16.000,00 = Rp. 40.000,00

Uang Tono= 3/2 x Rp. 16.000,00 = Rp. 24.000,00

Jumlah uang Andi dan Tono = Rp. 40.000,00 + Rp. 24.00,00 = Rp. 64.000,00

• Perbandingan usia Amir dan Tini 7 : 4. Jika usia Amir 28 tahun, maka usia Tini....tahun

Pembahasan :

    

• Ayah membagikan uang kepada Aya, Budi, dan Caca dengan perbandingan 2 : 5 : 10. Uang yang diterima Budi Rp. 10.000, 00. Jumlah uang yang dibagikan ayah.....

Pembahasan :

• Ayah beternak ayam dan itik. Perbandingan Ayam dan itik 8 : 7. Jika banyak itik 280 ekor maka banyak ayam....ekor.

Pembahasan :

• Perbandingan berat badan Tami dan Danu 7 : 8. Jika berat badan Danu 32 kg maka jumlah berat badan keduanya adalah....kg

Pembahasan :

• Perbandingan umur Ayah, Ibu, dan Danu 8 : 7 : 3. Jika umur Danu 15 tahun maka jumlah umur ketiganya....tahun.

Pembahasan :

   

SUDUT

PENGERTIAN SUDUT

Sudut dalam geometri adalah besaran rotasi suatu ruas garis dari satu titik pangkalnya ke posisi yang lain. Selain itu, dalam bangun dua dimensi yang beraturan, sudut dapat pula diartikan sebagai ruang antara dua buah ruas garis lurus yang saling berpotongan.

Bagian – bagian sudut :

1. Kaki sudut, sinar garis yang membentuk suatu sudut

2. Titik sudut, titik potong pangkal sinar dari kaki sudut

3. Daerah sudut, daerah yang terbentuk antara dua kaki sudut

Jenis – jenis Sudut

1. Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90⁰.

2. Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0 ⁰  dan  90 ⁰  atau 0 ⁰  < D < 90 ⁰, 

3. Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya di antara  90 ⁰  dan 180 ⁰  atau 90 ⁰  < D < 180 ⁰. 

4. Sudut lurus, yaitu sudut yang besarnya 180 ⁰.

5. Sudut refleks, yaitu sudut yang besarnya antara 180 ⁰ dan 360 ⁰, atau 180 ⁰ < D < 360 ⁰. 

Hubungan antar sudut

1. Sudut yang saling berpenyiku, dua sudut yang jumlah ukurannya 90 : ∠ ABD + ∠ DBC = 90

Jika dua buah sudut membentuk sudut siku-siku (90 ⁰), maka sudut yang satu merupakan penyiku  sudut yang lain dan kedua sudut itu dikatakan  saling berpenyiku.(berkomplemen)

2. Sudut yang saling berpelurus, dua sudut yang jumlah ukurannya 180 : ∠ PQS + ∠ SQT + ∠ TQR = 180

Jika dua buah sudut membentuk sudut lurus, maka sudut yang satu  merupakan pelurus sudut yang lain dan kedua sudut itu dikatakan saling berpelurus (bersuplemen).

HUBUNGAN ANTAR SUDUT JIKA DUA GARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARIS LAIN

1. Sudut sehadap, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8, ∠3 = ∠7.

2. Sudut dalam berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6

3. Sudut luar berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8

4. Sudut dalam sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠4 + ∠5 = 180, ∠3 + ∠6 = 180.

5. Sudut luar sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠2 + ∠7 = 180, ∠1 + ∠8 = 180.

6. Sudut bertolak belakang, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, ∠5 = ∠7, ∠6 = ∠8.

MENGENAL SATUAN SUDUT

Ukuran sudut dalam derajat

1 derajat adalah besar sudut yang diputar oleh jari-jari lingkaran sejauh 1/360 putaran atau 1° = 1/360 putaran

Ukuran sudut yang lebih kecil daripada derajat adalah menit (‘) dan detik (“)

Hubungan antara derajat, menit, dan detik dapat dinyatakan sebagai berikut :

1 derajat = 60 menit atau 1° = 60’

1 menit = 1/60 derajat atau 1’ = 1/60°

1 menit = 60 detik atau 1’ = 60”

1 detik = 1/60 menit atau 1” = 1/60’

Ukuran sudut dalam radian

1 radian sama dengan besar sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari

1° = p/180 radian atau 1 radian = 180°/p

Jika nilai p = 3,14159 maka hubungannya dapat juga dinyatakan :

1° = p/180 radian = 3,14159/180 = 0,017453 atau

1 radian = 180°/p = 180°/3,14159 = 57,296°

Melukis Sudut-sudut Istimewa

. Berikut ini langkah-langkahnya.

1. Lukislah sinar garis BC, yang akan menjadi kaki sudut dari sudut ABC.
2. Dengan menggunakan jangka, buatlah busur lingkaran yang berpusat di titik B sedemikian sehingga memotong sinar garis BC.
3. Dengan pengaturan jangka yang sama (jari-jari yang sama), buatlah juga busur lingkaran yang berpusat di titik perpotongan antara sinar garis BC dan busur lingkaran yang terbentuk pada langkah 2, sehingga busur tersebut berpotongan dengan busur berpotongan dengan busur pada langkah 2 tersebut.
4. Namailah titik potong kedua busur dengan A. Kemudian hubungkan titik B dan A untuk melukis sinar garis BA. Sudut ABC besarnya 60°.

Melukis Sudut yang Besarnya 30°

Secara jelas, sudut yang besarnya 30° merupakan sudut yang besarnya setengah dari sudut 60°. Sehingga, sudut 30° dapat dilukis dengan membagi sudut 60° menjadi 2 bagian yang sama besar. 

Dari ilustrasi di atas, kita juga dapat menyimpulkan bahwa sudut ABD besarnya 30°.

Melukis Sudut yang Besarnya 45°

Sudut 45° dapat dilukis dengan membagi sudut 90° menjadi 2 bagian yang sama besar. Padahal, melukis sudut 90° hampir sama dengan melukis segitiga siku-siku. Perhatikan ilustrasi dalam melukis sudut KLM yang besarnya 45° berikut.

MEMBUAT SUDUT BARU DENGAN UKURAN YANG SAMA DENGAN SUDUT YANG DIKETAHUI

Dengan menggunakan jangka dan penggaris lukislah sudut yang ukurannya sama dengan sudut A berikut

1. Gambarlah sebuah sinar yang berpangkal di E dengan menggunakan penggaris!

2. Buatlah busur dengan pusat A dengan menggunakan jangka sedemikian hingga sehingga memotong kaki-kaki sudut tersebut. Berilah nama titik-titik potongnya titik B dan C!

3. Dengan menggunakan jangka, buatlah busur dengan pusat E dan berjari-jari sama dengan nomor 2 di atas sehingga memotong sinar yang berpangkal di E. Berilah nama titik potongnya titik F!

4. Buatlah busur dengan pusat F dan berjari-jari BC sehingga memotong busur yang telah dibuat pada langkah 3. Berilah nama titik potongnya titik D!

5. Gambarlah sinar ED dengan menggunakan penggaris!

CARA MEMBAGI DUA SUDUT SAMA BESAR

Adapun cara membaginya adalah sebagai berikut.
 

a. Jangkakan dari A dengan ukuran tertentu sehingga membuat busur DE seperti Gambar (a).

r

b. Jangkakan dari D dengan ukuran tertentu dan juga dari E kedua busur hasil penjangkaan berpotongan di 

    F seperti Gambar (b).
 

c. Hubungkan A dan F. Garis AF membagi sudut BAF dan ∠CAF sama besar seperti Gambar (c).

SEGITIGA

PENGERTIAN SEGITIGA

Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga pada bidang datar adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.

Klasifikasi segitiga

Menurut panjang sisinya:

• Segitiga sama sisi (bahasa Inggris: equilateral triangle) adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60^o.
• Segitiga sama kaki (bahasa Inggris: isoceles triangle) adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.
• Segitiga sembarang (bahasa Inggris: scalene triangle) adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.

Segitiga sama sisi	Segitiga sama kaki	Segitiga sembarang

Menurut besar sudut terbesarnya:

• Segitiga siku-siku (bahasa Inggris: right triangle) adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya sama dengan 90^o. Sisi di depan sudut 90^o disebut hipotenusa atau sisi miring.
• Segitiga lancip (bahasa Inggris: acute triangle) adalah segitiga yang besar semua sudut < 90^o
• Segitiga tumpul (bahasa Inggris: obtuse triangle) adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya > 90^o

Segitiga siku-siku	Segitiga tumpul	Segitiga lancip

 GARIS ISTIMEWA SEGITIGA

Pengertian Garis Istimewa pada Segitiga
Garis itimewa pada segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut atau satu sisi dengan sisi di hadapannya yang berdasarkan aturan tertentu. Jadi garis istimewa dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang membagi segitiga tersebut berdasarkan aturan tertentu.,

Jenis-Jenis Garis Istimewa pada Segitiga
Ada empat macam garis istimewa pada sebuah segitiga yaitu:
• Garis bagi
• Garis tinggi
• Garis berat
• Garis sumbu

Pengertian Garis Bagi
Definisi garis bagi dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut segitiga ke sisi dihadapannya dan membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar. Perhatikan segitiga ABC pada gambar. Garis AD adalah garis bagi. Garis AD menghubungkan titik sudut A dengan sisi BC pada titik D sedemikian hingga sudut BAD sama dengan sudut DAC yaitu setengah dari sudut BAC.

 

Pengertian Garis Tinggi
Definisi garis tinggi dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut ke sisi dihadapannya secara tegak lurus (membentuk sudut siku-siku). Perhatikan segitiga HIJ pada gambar. Garis HK adalah garis tinggi. Garis HK menghubungkan titik sudut H dengan sisi IJ pada titik K sedemikian hingga sudut HKI dan sudut HKJ tepat 90 derajat (sudut siku-siku/sudut tegak lurus).

Pengertian Garis Berat
Definisi garis berat dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut ke sisi di hadapannya dan membagi sisi tersebut menjadi dua bagian sama panjang. Perhatikan segitiga PQR pada gambar. Garis PS adalah garis berat. Garis PS menghubungkan titik sudut P dengan sisi QR pada titik S sedemikian hingga panjang sisi QS sama dengan panjang sisi SR yaitu setengah dari panjang sisi QR.

 

Pengertian Garis Sumbu
Definisi garis sumbu dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik pada segitiga dengan sisi dihadapannya dan membagi sisi tersebut menjadi dua bagian sama panjang secara tegak lurus. Perhatikan segitiga UVW pada gambar. Garis XY adalah garis sumbu. Garis XY menghubungkan titik X pada sisi segitiga dengan sisi VW pada titik Y sedemikian hingga panjang sisi VY sama dengan panjang sisi YW dan sudut XYV juga sudut XYW tepat 90 derajat (sudut siku-siku/sudut tegak lurus).

Pembuktian JumIah Sudut Segitiga 180 derajat

1. Pembuktian dengan menggunakan alat ukur sudut atau busur derajat.

Ini adalah cara paling sederhana dan mudah apabila kita mempunyai busur derajat.

 

Misal kita punya segitiga sembarang seperti pada gambar diatas, dan diberi nama tiap titik sudutnya yaitu A, B dan C.

Pada segitiga terdapat sudut CAB, sudut ABC, dan sudut ACB.

Dengan menggunakan busur derajat masing – masing sudut diukur dan dihitung besar sudutnya.

Setelah itu, ketiga sudut tersebut dijumlahkan dan hasilnya akan berjumlah 1800

CAB + ABC + ACB = 180

2. Pembuktian dengan memperpanjang garis dari salah satu sisi.

        Pertama buat segitiga sembarang. Setiap titik sudut diberi nama. Misalkan A, B dan C.
Buat perpanjangan garis dari titik manapun. Misalkan titik C segaris dengan AC.Lalu kita beri titik dan nama yaitu D sehingga kita mendapat garis CD.Melalui titik C, buat garis yang sejajar dengan AB. Setelah itu diberi titik dan mana yaitu E, menghasilkan garis CE.Sehingga garis AB || garis CE Sudut ABC berseberangan dalam dengan sudut BCE, jadi sudut ABC = sudut BCE
Sudut BAC sehadap dengan sudut DCE, jadi sudut BAC = sudut DCE.
Dan dapat kita lihat dan simpulkan bahwa sudut ACB + BCE + DCE = 180.

3. Pembuktian dengan menggunakan bantuan garis yang sejajar salah satu sisi.


Buat segitiga sembarang dan beri nama tiap titik sudutnya, misalkan A, B dan C.
Buatlah garis yang sejajar sisi AB dan melalui titik C, beri nama garis tersebut DE.
Sudut CAB berseberangan dalam dengan sudut ACD, sudut CAB = sudut ACD = X
Sudut ABC berseberangan dalam dengan sudut BCE, sudut ABC = sudut BCE = Y
Dan besar sudut ACB yaitu Z
Sehingga jumlah sudut ACD + ACB + BCE = X + Z + Y = 180

4. Pembuktian Dengan Menggunting/memotong Tiap Titik sudut

    Tahap-tahapnya Sebagai Berikut :

    - Gunting tiap titiksudut

       

  - Gabungkan semua titik sudut sehingga menjadi

       

      

      

Rumus segitiga

Luas

• 

Keliling

•